За съществуването на вселената има два основни физични модела, които си противоречат
взаимно: модел с начало на вселената и цикличен модел без нейно начало. Като се използва аксиоматичния метод, доказваме директно следния резултат в космологията: вселената има вълнови характер на съществуване без начало във времето. Следователно са съществували и ще съществуват безбройно много светове, съответно в миналото и в бъдещето.
В раздела философия на математиката отначало разглеждаме следните геометрии, всяка от които противоречи на другата:
1) обикновената геометрия на Евклид, която се изучава в средното училище;
2) хиперболичната геометрия на Лобачевски-Бойаи (съответно руски и унгарски математици), според която през точка, вън от дадена права, минават безбройно много прави, успоредни на дадената;
3) удвоената елиптична геометрия (тримерната сферична геометрия) на германския математик Риман, в която няма успоредни прави: в нея всеки две прави се пресичат в две точки и
4) елиптичната геометрия на германския математик Феликс Клайн, в която няма успоредни прави: в нея всеки две прави се пресичат в една точка.
Ще отбележим, че кардиналното число (т.е. мощността) на множеството на реалните числа се нарича континуум. Крупният американският математик Пол Коен дава следното неочаквано двустранно решение на проблема на континуума, който е стоял пред математиците в продължение на един век: континуумът е първото и не е първото неизброимо кардинално число. От забележителната теорема за непълнотата на математиката на австрийския математик Курт Гьодел, най-великият логик на XX в. и от резултата на Коен следва, за разлика от интуитивния човешки разум, съществуването на безкраен брой различни математики, които си противоречат взаимно. В избираемата дисциплина коментираме начин за получаването им.
Решават се задачи за олимпиади за системи линейни уравнения с параметри, за неравенства и за класически неравенства. Третират се за биномната и полиномна формула, уравнения от висши степени от специални класове, трансформацията на Чирнхаус, корените на единицата, циклотомични полиноми и циклотомични уравнения.
Голяма част от задачите могат да се решават в профилираните паралелки по математика в средното училище и за подготовка на олимпиади.
Не е необходима предварителна подготовка на студентите, освен знанията по математика от гимназиалния материал.