|
|
|
|
Факултет по математика и информатика - Числени методи 2 |
 |
Приложна математика (бакалавър) редовно обучение | изпит | | | | Курсът по Числени методи 2 е продължение на Числени методи 1 за студентите по информатика. Целта на курса е изучаването на основните методи за числено решаване на приложни задачи и добиване на знания и умения при реализацията им на компютър. Учебният материал включва методи за: нелинейни системи алгебрични уравнения, собствени стойности и собствени вектори на матрици, начални и гранични задачи за обикновенни диференциални уравнения, собствени стойности и собствени функции на диференциални оператори, частни диференциални уравнения и др.
Изискват се знания по: Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Реален анализ, Функционален анализ, Вероятности и статистика, Обикновенни диференциални уравнения, Числени методи І част и др., както и владеене поне на един език за програмиране от високо ниво: Pascal, C++ и др.
В рамките на курса всеки студент разработва и защитава курсова работа, съдържаща теоретична и програмна част и/или подготвя задължителен брой компютърни програми за дадени ЧМ с подходящи тестови примери. | | | - Постановка на общата задача на Числените методи в абстрактно пространство. Етапи и особености на научните изчисления. Математически модели, числени методи и нови възможности на компютрите. Понятия за устойчивост, коректност и сходимост. Примери за неустойчиви изчислителни задачи.
- Числено решаване на системи нелинейни алгебрични уравнения. Метод на простата итерация. Теорема за неподвижната точка в метрично пространство и сходимост на метода на простата итерация. Метод на Нютон-Рафсън и теорема за локалната му сходимост.
- Методи за безусловна минимизация. Едномерна оптимизация – сканиране, намаляване интервала наполовина, златно сечение и Фибоначи. Многомерна безусловна минимизация – постановка на общата задача. Методи на непряка минимизация, на Гаус-Зайдел, градиентен метод.
- Числени методи за решаване на частичната и пълната проблема за собствени стойности и собствени вектори на матрици. Локализация на собствените стойности с кръговете на Гершгорин. Степенен метод за определяне на максималната по модул собствена стойност. Числени матрици. Метод на Ланцош за матрици от невисок ред. Биортогонализация. Метод на Хаусхолдер. QR метод и реализация с плоско въртене.
- Числено интегриране на задачата на Коши за обикновени диференциални уравнения и системи ОДУ. Линейни едностъпкови методи: метод на Ойлер и модификация, явни методи на Рунге-Кута. Теорема за сходимост на едностъпковите методи. Линейни многостъпкови методи от типа на Адамс – екстраполационни и интерполационни формули. Твърди задачи.
- Итерационни методи за системи линейни уравнения. Конструиране на методите, сходимост, оценка на грешката. Модификация на Гаус-Зайдел.
- Числено решаване на гранични задачи за ОДУ. Метод на стрелбата за нелинейни гранични задачи от втори ред.Мрежови методи за решаване на линейни гранични задачи от втори ред. Принцип за максимума и оценка на грешката от мрежовите методи. Нелинеен случай. Метод на сплайн-функциите. Вариационни методи за решаване на гранични задачи за ОДУ – метод на Риц, метод на Бубнов-Галеркин, метод на крайните елементи и др.
- Приближено намиране на собствени стойности и собствени функции на диференциални оператори. Постановка на задачата. Метод на стрелбата, метод на мрежите.
- Елементи от теорията на диференчните схеми. Мрежа, шаблон, мрежови функции, апроксимация на основните диференциални оператори. Мрежови норми, диференчни аналози на основните диференциални операции. Построяване и разрешимост на ДС. Коректност и устойчивост на диференчна схема. Основна теорема за сходимост на ДС.
- Метод на мрежите за числено решаване на частни диференциални уравнения. Класификация на линейните ЧДУ от втори ред. Метод на мрежите за елиптични ЧДУ. Принцип за максимума и теорема за оценка на грешката. Разрешимост на ДС за елиптични ЧДУ: процес на Либман и сходимост. Метод на мрежите за хиперболични ЧДУ. Оценка на грешката за вълновото уравнение. Метод на мрежите за параболични ЧДУ: двуслойни и трислойни ДС, апроксимация и разрешимост.
- Методи на Монте-Карло. Идея на методите. Генератори за случайни числа. Метод на Монте-Карло за приближено изчисляване на многократни определения интеграли.
- Числени методи за решаване на интегрални уравнения. Постановка на задачата. Методи на изродените ядра, на моментите и др.
|
|
|
|
 |
 |
|
| © 2009 ФМИ |
Обучение
