Факултет по математика и информатика - Компютърни числени методи |
|
Информатика (бакалавър) редовно обучение | изпит | | | Целта на курса е изучаването на основните методи за числено решаване на математически задачи и тяхното прилагане за числено изследване на математически модели. На лекциите, освен теоретични знания, се дават и конкретни числени примери. За всеки основен метод студентът съставя комплексна програма, която се заверява от ръководителя на упражненията, като лабораторна работа. Учебният материал включва методи за решаване на уравнения и системи линейни уравнения (точни и итерационни методи), апроксимации и функции (интерполиране, средноквадратични и равномерни приближения), числено диференциране и интегриране, нелинейни системи алгебрични уравнения, собствени стойности и собствени вектори на матрици, начални и гранични задачи за обикновени диференциални уравнения, собствени стойности и собствени функции на диференциални оператори, частни диференциални уравнения и др. Изискват се знания по: линейна алгебра, аналитична геометрия, реален и функционален анализ, вероятности и статистика, ОДУ, а също така програмиране на език от високо ниво: Pascal, C++ и др. | | - Въведение в изчислителната математика. Грешки при приближени изчисления. Видове грешки – абсолютна, относителна, от закръгляне, пълна грешка.
- Числено решаване на уравнения с едно неизвестно. Метод на разполовяването. Метод на хордите. Метод на допирателните. Компютърна реализация.
- Точни методи за системи линейни уравнения. Метод на Гаус-Жордан. Метод на прогонката за квазидиагонални системи уравнения и устойчивост на метода. Компютърна реализация на метода на прогонката.
- Изчисляване на детерминанти, обръщане на матрици и решаване на комплексни системи.
- Итерационни методи за системи линейни уравнения. Конструиране на методите, сходимост, оценка на грешката. Модификация на Гаус-Зайдел. Компютърна реализация.
- Планиране, действие и обучение. Цикъл "Възприемане - Планиране - Действие". Апроксиматично търсене.
- Апроксимиране на функционали – числено диференциране и числено интегриране. Квадратурни формули на Нютон-Коутс, на правоъгълника, на трапеца, на Симпсън. Оценка на грешката. Адаптивни методи за интегриране със саморегулираща се стъпка. Компютърна реализация.
- Постановка на общата задача на Числените методи в абстрактно пространство. Етапи и особености на научните изчисления. Математически модели, числени методи и нови възможности на компютрите. Понятия за устойчивост, коректност и сходимост. Примери за неустойчиви изчислителни задачи.
- Числено решаване на системи нелинейни алгебрични уравнения. Метод на простата итерация и сходимост. Метод на Нютон-Рафсън. Компютърна реализация.
- Методи за безусловна минимизация. Едномерна оптимизация – сканиране, намаляване интервала наполовина, златно сечение и Фибоначи. Многомерна безусловна минимизация – постановка на общата задача. Методи на непряка минимизация, на Гаус-Зайдел, градиентен метод. Компютърна реализация.
- Числени методи за решаване на частичната и пълната проблема за собствени стойности и собствени вектори на матрици. Локализация на собствените стойности с кръговете на Гершгорин. Степенен метод за определяне на максималната по модул собствена стойност. Метод на Ланцош за матрици от невисок ред. Биортогонализация. Компютърна реализация.
- Числено интегриране на задачата на Коши за обикновени диференциални уравнения и системи ОДУ. Линейни едностъпкови методи: метод на Ойлер и модификация, явни методи на Рунге-Кута. Линейни многостъпкови методи от типа на Адамс – екстраполационни и интерполационни формули. Твърди задачи. Компютърна реализация.
- Теорията на диференчните уравнения. Диференчни уравнения и свойства. Необходими и достатъчни условия за устойчивост. Примери.
- Числено решаване на гранични задачи за ОДУ. Мрежови методи за решаване на линейни гранични задачи от втори ред. Метод на крайните елементи. Компютърна реализация.
- Елементи от теорията на диференчните схеми. Мрежа, шаблон, мрежови функции, апроксимация на основните диференциални оператори. Мрежови норми, диференчни аналози на основните диференциални операции. Построяване и разрешимост на ДС. Коректност и устойчивост на диференчна схема.
- Метод на мрежите за числено решаване на частни диференциални уравнения. Класификация на линейните ЧДУ от втори ред. Метод на мрежите за елиптични ЧДУ. Принцип за максимума и теорема за оценка на грешката. Разрешимост на ДС за елиптични ЧДУ: процес на Либман и сходимост. Метод на мрежите за хиперболични ЧДУ. Оценка на грешката за вълновото уравнение. Метод на мрежите за параболични ЧДУ: двуслойни и трислойни ДС, апроксимация и разрешимост.
|
|
|
|