Математика и информатика (бакалавър) редовно обучение | изпит | | | Курсът включва два основни дяла на Теория на числата – елементарна теория на числата и аналитична теория на числата. В елементарната теория на числата се изучават основните свойства на числовите функции, сравненията, показателите, примитивните корени, индексите и теорията на квадратичните остатъци. Основно място в аналитичната теория на числата заемат асимптотичният закон за разпределение на простите числа и знаменитият резултат на Дирихле за аритметичната прогресия. Преминава се също през резултатите на Ойлер и Чебишев. | | - Делимост на целите числа. Изучават се основни свойства на делимостта, принцип за добрата наредба на естествените числа, деление с частно и остатък, най-голям общ делител и алгоритъм на Евклид, най-малко общо кратно, прости числа и основна теорема на аритметиката.
- Теория на сравненията. Сравнения от първа степен с едно неизвестно, системи сравнения, сравнения при прост модул и сравнения при съставен модул.
- Числови функции – основни свойства, функция на Ойлер, функция и формула на Мьобиус за обръщането, теорема на Ферма-Ойлер.
- Примитивни корени и индекси, биномни сравнения, показатели, приложение на индексите за решаване на двучленни сравнения.
- Теория на квадратичните остатъци, символ на Льожандър, закон на Гаус за реципрочност на квадратичните остатъци, представяне на числата като сума от два квадрата и от четири квадрата.
- Резултати на Ойлер и Чебишев – теорема на Ойлер, функции на Чебишев, теорема на Чебишев.
- Дзета-функция на Риман – основни свойства, тъждество на Ойлер, аналитично продължение на функцията дзета и функционално уравнение, преобразувания на Абел, нули, оценки и обобщение на функцията дзета.
- Асимптотичен закон за разпределение на простите числа – функция w(x), основна теорема за простите числа, асимптотична оценка за n-тото просто число.
- Редове на Дирихле – основни свойства, абсциса на сходимост, характери, специални редове на Дирихле, L-редове и L-функции на Дирихле, теорема на Дирихле за аритметичната прогресия.
- Проблеми в теорията на числата – прости числа близнаци, нечетни съвършени числа, прости числа на Мерсен и Ферма, прости числа от редицата n2+1, голяма теорема на Ферма, хипотези на Голдбах и Ойлер, хипотеза на Артин, хипотеза на Риман.
|
|