analysis1.nb

Разглеждат се производни, интеграли, граници

Пример 1. Задаваме символно полином. Намира се първа и трета производна спрямо x.

f=x^5-2x^3-1
D[f,x]
D[f,{x,3}]

Същите команди можем да запишем и с помощта на палетите за математически символи. Ако използваме f', то ще го получим като заместване. За да изчислим производната ползваме . За трета производна добавяме още едно x :

f = x^5 - 2x^3 - 1 f^′ f1 = ∂_x f f3 = ∂_ (x, x, x) f

Функциите могат да се представят исъс съитветни декларации както е показано тук:

h[x_] := x^5 - 2x^3 - 1 ∂_x h[x] h[1]

Пример 2. Нека да видим и графиките на получените функции от пример 1. Очевидно интересно е поведението в интервала [-2,2], затова показваме производните само в този интервал.

g1 = Plot[f, {x, -5, 5}] g2 = Plot[f1, {x, -2, 2}] g3 = Plot[f3, {x, -2, 2}]

[Graphics:HTMLFiles/index_14.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_16.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_18.gif]

Пример 3. Дефинираме функция на две променливи. Намира се частната производна по x, после по y, накрая - смесена втора производна.

g[x_, y_] := 7x^2 - y^3 - Log[x] ∂_x g[x, y] ∂_y g[x, y] ∂_ (x, y) g[x, y]

Пример 4. Анулира се променливата f. Диференцираме символно.

f = .
D[f[x],x]
D[5* x *f[x], x]

Пример 5. Задава се ново значение на f, старото автоматично се изтрива. Намира се неопределен интеграл. Накрая - определен интеграл: точна стойност и приближена стойност.

f = (1 - 2x^3)/(2 + 3x) ∫fxIntegrate[f, x] &nb ... 6;ишния резултат *)

Пример 6. Задаваме функция с името novaf. Изчислява се частна производна по x и двоен интеграл. Накрая е даден резултат във вид на десетично число.

newf[x_, y_] := x^4 + 3y d = ∂_x newf[x, y] ∫_0^1∫_1^2newf[x, y] yx %//N

Пример 7. Задаваме тригонометрична функция. Искаме да се пресметне определения интеграл чрез числен метод, но системата се затруднява, защото имаме особености във функцията синус. Независимо от това, че изчисленията са бавни, получаваме отговор. Ако много бавно се изчислява, можем да прекъснем с клавишите ALT + . или от меню Kernel/Abort Evaluation.

f=. f[x_, y_] := Cos[( x)/y] ∫_0^π∫_0^πf[x, y] xy ... 9; числен метод *)

NIntegrate :: slwcon : Numerical integration converging too slowly; suspect one of the followi ... r integrand is oscillatory try using the option Method->Oscillatory in NIntegrate. More…

Пример 8. Тук показваме графиката на функцията от предния пример, за да се видят особеностите.

Plot3D[f[x,y],{x,0,1},{y,0,1}]

[Graphics:HTMLFiles/index_60.gif]

Пример 9. Нова фукнция и изчисляване на интеграл с променливи граници.

f=. ; f = x^2 + 1/(1 + y^2) ∫_0^1∫_0^x^(1/2) fyx N[%]

Пример 10. Това е пример за троен интеграл. Намира се точната стойност, а след това - приближената. Последната е показана и с двойна точност.

∫_0^1∫_x/2^x∫_ (x + y)/2^(x + y) 1/(1 + x + y + z) zyx %//N

Горният пример може да се задава по обикновен начин така:

f= 1/(1+x+y+z)
Integrate[f,{x,0,1},{y,x/2,x},{z,(x+y)/2,x+y}]
N[%]

Пример 11. Нека разгледаме още една фукнция с особености. Системата не се затруднява да начертае графиката, макар, че в точката x=0 функцията не е определена. Поради големия скок обаче, в по-голям интервал се прескача нулата.

f = Sin[x]/x Plot[f, {x, 0, 10}] Plot[f, {x, 0, 100}]