Разглеждат се производни, интеграли, граници

Пример 1. Задаваме символно полином. Намира се първа и трета производна спрямо x.

f=x^5-2x^3-1
D[f,x]
D[f,{x,3}]

-1 - 2 x^3 + x^5

-6 x^2 + 5 x^4

-12 + 60 x^2

Същите команди можем да запишем и с помощта на палетите за математически символи. Ако използваме f', то ще го получим като заместване. За да изчислим производната ползваме  ∂_     и    ∂_ (, ) .  За трета производна добавяме още едно  x :

f = x^5 - 2x^3 - 1 f^′ f1 = ∂_x f f3 = ∂_ (x, x, x) f

-1 - 2 x^3 + x^5

(-1 - 2 x^3 + x^5)^′

-6 x^2 + 5 x^4

-12 + 60 x^2

Функциите могат да се представят исъс съитветни декларации както е показано тук:

h[x_] := x^5 - 2x^3 - 1 ∂_x h[x] h[1]

-6 x^2 + 5 x^4

-2

Пример 2. Нека да видим и графиките на получените функции от пример 1. Очевидно интересно е поведението в интервала [-2,2], затова показваме производните само в този интервал.

g1 = Plot[f, {x, -5, 5}] g2 = Plot[f1, {x, -2, 2}] g3 = Plot[f3, {x, -2, 2}]

[Graphics:HTMLFiles/index_14.gif]

⁃Graphics⁃

[Graphics:HTMLFiles/index_16.gif]

⁃Graphics⁃

[Graphics:HTMLFiles/index_18.gif]

⁃Graphics⁃

Пример 3. Дефинираме функция на две променливи. Намира се частната производна по x, после по y, накрая - смесена втора производна.

g[x_, y_] := 7x^2 - y^3 - Log[x] ∂_x g[x, y] ∂_y g[x, y] ∂_ (x, y) g[x, y]

7 x^2 - y^3 - Log[x]

-1/x + 14 x

-3 y^2

0

Пример 4. Анулира се променливата f. Диференцираме символно.

f = .
D[f[x],x]
D[5* x *f[x], x]

f^′[x]

5 f[x] + 5 x f^′[x]

Пример 5. Задава се ново значение на f, старото автоматично се изтрива. Намира се неопределен интеграл.  Накрая - определен интеграл: точна стойност и приближена стойност.

f = (1 - 2x^3)/(2 + 3x) ∫fxIntegrate[f, x]    &nb ... 6;ишния резултат *)

(1 - 2 x^3)/(2 + 3 x)

1/81 (-6 x (4 - 3 x + 3 x^2) + 43 Log[2 + 3 x])

1/81 (-6 x (4 - 3 x + 3 x^2) + 43 Log[2 + 3 x])

1/81 (-24 + 43 Log[5/2])

0.19013

Пример 6. Задаваме функция с името novaf.  Изчислява се частна производна по x  и двоен интеграл. Накрая е даден резултат във вид на десетично число.

newf[x_, y_] := x^4 + 3y d = ∂_x newf[x, y] ∫_0^1∫_1^2newf[x, y] yx %//N

4 x^3

47/10

4.7

Пример 7. Задаваме тригонометрична функция. Искаме да се пресметне определения интеграл чрез числен метод, но системата се затруднява, защото имаме особености във функцията синус. Независимо от това, че изчисленията са бавни, получаваме отговор. Ако много бавно се изчислява, можем да прекъснем с клавишите  ALT + .   или от меню Kernel/Abort Evaluation.

f=. f[x_, y_] := Cos[( x)/y]  ∫_0^π∫_0^πf[x, y] xy  ... 9; числен метод *)   

-1/4 π^2 (π - 2 (Cos[1] + Sin[1] + SinIntegral[1]))

3.73594

3.73594

NIntegrate :: slwcon : Numerical integration converging too slowly; suspect one of the followi ... r integrand is oscillatory try using the option Method->Oscillatory in NIntegrate.  More…

NIntegrate :: ncvb : NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 13 recursive bisections in y near {x, y} = {3.000902059754438`, 0.0019899063331735444`} .  More…

3.73532

Пример 8. Тук показваме графиката на функцията от предния пример, за да се  видят особеностите.

Plot3D[f[x,y],{x,0,1},{y,0,1}]

                                      1 Power :: infy : Infinite expression  --- encountered. More…                                      0.`

∞ :: indet : Indeterminate expression 0.` ComplexInfinity encountered. More…

                                      1 Power :: infy : Infinite expression  --- encountered. More…                                      0.`

∞ :: indet : Indeterminate expression 0.` ComplexInfinity encountered. More…

                                      1 Power :: infy : Infinite expression  --- encountered. More…                                      0.`

General :: stop : Further output of Power :: infy will be suppressed during this calculation. More…

∞ :: indet : Indeterminate expression 0.` ComplexInfinity encountered. More…

General :: stop : Further output of ∞ :: indet will be suppressed during this calculation. More…

Plot3D :: plnc : f[x, y] is neither a machine-size real number at {x, y} = {0.`, 0.`} nor a list of a real number and a valid color directive. More…

Plot3D :: plnc : f[x, y] is neither a machine-size real number at {x, y} = {0.041666666666666664`, 0.`} nor a list of a real number and a valid color directive. More…

Plot3D :: plnc : f[x, y] is neither a machine-size real number at {x, y} = {0.08333333333333333`, 0.`} nor a list of a real number and a valid color directive. More…

General :: stop : Further output of Plot3D :: plnc will be suppressed during this calculation. More…

Plot3D :: gval : Function value Indeterminate at grid point xi = 1, yi = 1 is not a real number. More…

Plot3D :: gval : Function value Indeterminate at grid point xi = 2, yi = 1 is not a real number. More…

Plot3D :: gval : Function value Indeterminate at grid point xi = 3, yi = 1 is not a real number. More…

General :: stop : Further output of Plot3D :: gval will be suppressed during this calculation. More…

[Graphics:HTMLFiles/index_60.gif]

⁃SurfaceGraphics⁃

Пример 9.  Нова фукнция и изчисляване на интеграл с променливи граници.

f=. ;    f = x^2 + 1/(1 + y^2) ∫_0^1∫_0^x^(1/2) fyx N[%]

x^2 + 1/(1 + y^2)

-5/7 + π/2

0.856511

Пример 10. Това е пример за троен интеграл. Намира се точната стойност, а след това - приближената. Последната е показана и с двойна точност.

∫_0^1∫_x/2^x∫_ (x + y)/2^(x + y) 1/(1 + x + y + z) zyx %//N

1/432 (-1408 Log[4] + 675 Log[5] - 216 Log[8] + 676 Log[13] - 72 Log[256])

0.0462077

RowBox[{0.0462077, }]

Горният пример може да се задава по обикновен начин така:

f= 1/(1+x+y+z)
Integrate[f,{x,0,1},{y,x/2,x},{z,(x+y)/2,x+y}]
N[%]

1/(1 + x + y + z)

1/432 (-1408 Log[4] + 675 Log[5] - 216 Log[8] + 676 Log[13] - 72 Log[256])

0.0462077

Пример 11. Нека разгледаме още една фукнция с особености. Системата не се затруднява да начертае графиката, макар, че в точката x=0 функцията не е определена. Поради големия скок обаче, в по-голям интервал се прескача нулата.

f = Sin[x]/x Plot[f, {x, 0, 10}] Plot[f, {x, 0, 100}]

Sin[x]/x

[Graphics:HTMLFiles/index_75.gif]

⁃Graphics⁃

[Graphics:HTMLFiles/index_77.gif]

⁃Graphics⁃

Пример 12. Да намерим някои граници и несобствения интеграл .

Limit[f, x0] Limit[f, xInfinity] ∫_0^∞fx

1

0

π/2

Пример 12. Още една функция с особености.

h = (x + 1)/(1 + x^2 - x^4) Plot[h, {x, -10, 10}]

(1 + x)/(1 + x^2 - x^4)

[Graphics:HTMLFiles/index_85.gif]

⁃Graphics⁃

Пример 13. Следват и графиките в подходящо избрани интервали.

Plot[h,{x,-1, 1}]
Plot[h,{x,-1.5, -1.2}]  

[Graphics:HTMLFiles/index_87.gif]

-Graphics-

[Graphics:HTMLFiles/index_88.gif]

-Graphics-

Created by Mathematica  (December 29, 2007)